Pert 11 Matematika Ekonomi

INTEGRAL TAK TENTU

pert 3 Matematika Ekonomi

PENERAPAN FUNGSI LINIER

1. Fungsi permintaan

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang diminta oleh konsumen dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu

Bentuk Umum : Q = a – bP

Hukum penawaran yaitu apabila harga naik jumlah yang ditawarkan akan bertambah dan apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang.

B. Fungsi penawaran

Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah produk yang ditawarkan oleh produsen dengan variabel-variabel lain yang mempengaruhinya pada suatu periode tertentu

Bentuk Umum : Q = a – bP

Hukum permintaan yaitu apabila harga naik jumlah yang diminta akan berkurang dan apabila harga turun jumlah yang diminta akan bertambah.

KESEIMBANGAN PASAR :

Pasar suatu macam barang dikatakan berada dalam keseimbangan (equilibrium) apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan.

Q_d = Q_s

P

Q

Pe

E

0

Qe

Qs

Qd

Q_d = jumlah permintaan

Q_s = jumlah penawaran

E = titik keseimbangan

P_e= harga keseimbangan

Q_e= jumlah keseimbangan

Kasus :

• Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 – Q , sedangkan penawarannya P = 3 + 0,5 Q. Berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?

PENGARUH PAJAK PADA KESEIMBANGAN PASAR

Jika produk dikenakan pajak t per unit, maka akan terjadi perubahan keseimbangan pasar atas produk tersebut, baik harga maupun jumlah keseimbangan. Biasanya tanggungan pajak sebagan dikenakan kepada konsumen sehingga harga produk akan naik dan jumlah barang yang diminta akan berkurang

Fungsi permintaan : P = f(Q)

Fungsi penawaran sebelum kena pajak : P = F(Q)

Fungsi penawaran setelah pajak t per unit : P_t = F(Q) + t

Keseimbangan pasar setelah kena pajak diperoleh dengan memecahkan:

Permintaan : P = f(Q), Penawaran : Q = G(P_t – t)

PENGARUH SUBSIDI PADA KESEIMBANGAN PASAR

Jika produk dikenakan subsidi s per unit, maka akan terjadi penurunan harga produk sehingga keseimbangan pasar atas produk tersebut juga akan bergeser

Fungsi permintaan : P = f(Q)

Fungsi penawaran setelah kena subsidi : P = F(Q) – s

Keseimbangan pasar setelah subsidi diperoleh dengan memecahkan :

P = f(Q) dan

P = F(Q) – s

FUNGSI BIAYA :

Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam operasi bisnisnya terdiri atas biaya tetap (fixed cost) dan biaya variabel (variabel cost).

FC = k ,VC = f(Q) = vQ ,C = g (Q) = FC + VC = k + vQ

C

Q

0

k

C=K+Vq

Vc =Vq

FC =k

FC = biaya tetap

VC= biaya variabel

VC = vQ

C = biaya total

k = konstanta

V = lereng kurva VC dan kurva C

Kasus :

Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20.000 sedangkan biaya variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 100 Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya totalnya ! Berapa biaya total yang dikeluarkan jika perusahaan tersebut memproduksi 500 unit barang ?

FUNGSI PENERIMAAN :

Penerimaan total (total revenue) adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut.

R = Q x P = f (Q)

Kasus :

Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200,00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit ?

ANALISIS PULANG POKOK (BREAK EVEN) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, p = 0 ) terjadi apabila R = C.

Kasus :

• Jika biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan oleh persamaan C = 20.000 + 100 Q dan penerimaan totalnya R = 200 Q. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan ini berada dalam posisi pulang pokok ? Apa yang terjadi jika ia berproduksi sebanyak 300 unit ?

Pert 2 Matematika Ekonomi

FUNGSI Fungsi adalah suatu hubungan dimana setiap elemen dari daerah asal (domain/pra peta) saling berhubungan dengan satu dan hanya satu elemen dari daerah hasil (codomain/peta) fungsi

fungsi

Fungsi

Relasi

Fungsi mengharuskan adanya satu nilai Y yang unik untuk setiap nilai X, tetapi hal yang sebaliknya tidak diharuskan.

Dengan katalain, lebih dari satu nilai X dapat dihubungkan dengan nilai yang sama, tetapi sebaliknya beberapa nilai Y tidak dapat dihubungkan dengan nilai X yang

sama

Elemen yang dihubungkan oleh suatu fungsi

dibedakan menjadi variabel bebas dan terikat

Pada pernyataan fungsi : y = f(x)

Y → variabel terikat

X → variabel bebas

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Garis lurus horisontal mewakili nilai-nilai domain dan disebut sumbu absis

Garis lurus vertikal mewakili nilai-nilai codomain dan disebut sumbu ordinat

FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS

Fungsi dengan satu variabel bebas berarti hanya ada satu jenis variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat

Fungsi polinomà fungsi aljabar

Fungsi eksponen dan fungsi logaritma à fungsi non aljabar

Contoh : fungsi polinom  y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Y menyatakan variabel terikat

X menyatakan variabel bebas

A₀,a₁,a₂,…,a_n menyatakan konstanta

an = 0  dan non negatif

Fungsi polinom in dapat terdiri;

Ø    Fungsi konstanta

Ø    Fungsi linier

Ø    Fungsi kuadrat

Ø    Fungsi pangkat tiga(kubik)

Ø    Dst pada fungsi pangkat n(n=1,2,3)

FUNGSI DENGAN DUA ATAU LEBIH VARIABEL BEBAS

Fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas adalah fungsi yang terdapat dua atau lebih jenis variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat (fungsi multivariat)

Contoh : y = f(X1,X2,… ,Xn)

Y menyatakan variabel terikat

Xi menyatakan variabel bebas (i = 1,2,…,n)

n bernilai dua atau lebih

Fungsi polinomial dengan dua atau lebih variabel bebas dapat berbentuk linier ataupun non linier terhadap masing-masing variabel bebas.

Misalnya suatu fungsi yang mempunyai bentuk:  y = a1x1 + a2x2 + … + anxn

Adalah fungsi linier , karena setiap variabel pada masing-masing suku mempunyai pangkat satu. Sedangkan untuk fungsi non linier, misalnya fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat satu dan pangkat dua dari satu atau lebih variabel bebas, tetapi jumlah pangkat atau eksponen dari variabel bebas yang ada dalam setiap suku tunggal tidak lebih dari dua.

Aturan-aturan yang digunakan untuk menentukan tingkatan(degree) dari suatu fungsi polinomial dengan dua atau lebih variabel bebas adalah sebagai berikut:

1. Tingkat dari suatu suku adalah sama dengan jumlah dari pangkat atau eksponen pada variabel-variabel dalam suku itu.

2. Tingkat dari suatu polinomial adalah sama dengan tingkat suku itu dari tingkat paling tinggi dalam polinomial.

Contoh:

a.     Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3

a: adalah konstanta

xi: adalah variabel bebas yang terpisah

karena masing-masing suku mempunyai pangkat satu, fungsi adalah linier dalam tiga variabel bebas x1, x2 dan x3

b.      Y = a0 + a1x1 + a2x2² + a3x3+a4x4³

Terdapat berbagai pangkat(degree) untuk setiap suku

Pangkat dari a1x1 dan a3x3 adalah 1

Pangkat dari a2x2² adalah 2

Pangkat dari a4x4³ adalah 3

Oleh karena itu, menurut aturan kedua diatas, pangkat/tingkat polinomial adalah 3

BENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel itu

Bentuk umum

y = a0 + a1x dengan a tidak sama dengan nol

a                                    b.                                 c.                                   d.

Kemiringan                 Kemiringan               Kemiringan               Kemiringan

Positif                           Negatif                       nol                              tak tentu

a.  Garisnya mempunyai kemiringan positif, karena menaik dari kiri bawah ke kanan atas,sehingga jika x menaik maka y menaik juga

b.   Garis mempunyai kemiringan negarif, karena menurun dari kiri atas ke kanan bawah, sehingga jika x menaik maka y akan menurun

c.  Kemiringan garisnya nol,karena x bertambah, y tetap konstan

d.    Kemiringan garis tak tentu, karena x konstan, Y tak tentu

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

Ø             Metode dua titik

suatu garis lurus dapat digambarkan dengan cara

menghubungkan dua titik pada bidang Cartesius XY

Persamaan garis dapat dicari dengan

Y – Y₁ =   Y₂ – Y₁

X – X₁ X₂ – X₁

Contoh carilah persamaan garis yang melalui titik(3,2) dan(4,6)

Penyelesaian:

X₁ = 3 , X₂ = 4, Y₁ = 2, dan Y₂ = 6

Y – Y₁ =   Y₂ – Y₁

X – X₁ X₂ – X₁

Y – 2 =     6 – 2

X – 3          4 – 3

Y – 2 =     6 – 2 (X – 3)

4 – 3

Y – 2   =     4(X – 3)

Y        =      4X – 12 + 2

Y        =      4X – 10

Persamaan garis Y=4X – 10 ini grafiknya

Y = 4X – 10

X=0  à      Y= 4.0 – 10 = – 10

Y=0  à      0 = 4X – 10

10 = 4X

X = 2,5

Ø    Metode satu titik dan satu kemiringan

Selain metode dua titik untuk menentukan garis lurus, ada metode lain, yaitu: metode satu titik dan satu kemiringan

Rumus dibawah ini untuk menentukan persamaan garis lurus bila diketahui satu titik dan satu kemiringan.

Persamaan garis dapat dicari dengan Y – Y₁ = m (X – X₁)

dengan m menyatakan kemiringan garis

Contoh carilah persamaan garis yang melalui titik(6,4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian:

Diketahui(X,Y) = (6,4) dan m = – 2/3

Y – Y₁ =  m (X – X₁)

Y –  4    =  -2/3 (X – 6)

Y     =  -2/3 X + 4 + 4

Y     =  -2/3 X + 8

Persamaan garis Y =-2/3x +8 ini grafiknya

Y =  -2/3 X + 8

X=0  à      Y= -2/3.0 + 8 = 8

Y=0  à      0 =  -2/3 X + 8

8 = 2/3 X

X = 12

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Apabila dua garis yang empunyai kemiringan yang berbeda atau sama dan juga titik potong dengan sumbu Y berbeda atau sama, maka bila digambarkan dalam koordinat kartesius XY akan terdapat empat kemungkinan :

a1 # b1                a1 = b1                      a1 = b1                       a1 . b1 = -1

a0 # b0                a0 # b0                      a0 = b0                       a0 # b0

berpotongan                sejajar                              berimpit                           tegak lurus

Contoh:

X+ 2Y- 3=0

3X -6Y + 18 =0

X + 2Y – 3 = 0

X=0  –> 2Y = 3

Y = 3/2

Y = 1.5

Y=0  –>  X = 3

3X – 6Y + 18 = 0

X=0  –>-6Y + 18=0

18 = 6Y

Y = 3

Y=0 –> 3X + 18 = 0

3X = -18

X = -18/3

X = -6

Garis berpotongan

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem persamaan linier → himpunan yang terdiri dari persamaan – persamaan linier

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

1.     Metode eliminasi

Dilakukan dengan menghapus sementara salah satu variabel

Langkah-langkah penyelesaian:

a.  Pilih satu variabel yang akan dieliminasi

b.  Kalikan kedua persamaan dengan suatu nilai konstanta tertentu bila diperlukan sehingga koefisien pada variabel yang dipilih menjadi sama

c.  Jika tanda pada kedua koefisien dari variabel yang dipilih sama, maka kedua persamaan dikurangkan, sedangkan jika berlainan kedua persamaan dijumlahkan

d.  Carilah nilai dari variabel yang tersisa dan substitusikan ke dalam persamaan mula-mula untuk menentukan nilai dari variabel yang telah dipilih

2.     Metode Substitusi

Dilakukan dengan mensubstitusikan satu variabel ke dalam varabel yang lain

Langkah-langkah penyelesaian:

a. Pilih satu variabel yang ada dalam persamaan, kemudian upayakan koefisien dari variabel tersebut menjadi 1

b. Bila persamaan pertama yang dipilih, maka substitusikan persamaan ke dalam persamaan kedua

c.  Carilah nilai variabel yang tidak terpilih dengan aturan-aturan matematika

d. Substitusikan kembali nilai dari variabel yang diperoleh ke dalam persamaan mula-mula untuk memperoleh nilai variabel yang dipilih

Latihan Soal :

Selesaikan himpunan-himpunan persamaan linear berikut

1.     -3×1 + 2×2 = 1

8×1 – 4×2 = 8

2.     x1 + 4×2 – 2×3 = 3

3×1 + 2×2 + x3 = 10

2×1 + 3×2 + 2×3 = 14

3.     x + y + 2z = 4

3x + 5y + z = 0

5x + 4y + 3z = 7

Pert 1 Matematika Ekonomi

SIFAT-SIFAT MATEMATIKA EKONOMI
DAN MODEL EKONOMI

Simbol – simbol variabel dalam matematika ekonomi biasanya disesuaikan dengan nama variabel ekonominya, misal harga = P (price), biaya = C (cost), jumlah yang diminta = Q (quantity), dan lain-lain

Penggambaran dalam bidang Cartesius, variabel P pada sumbu vertikal walaupun P adalah variabel bebas.

Penyederhanaan hubungan antara variabel-variabel disebut dengan model ekonomi.

Model matematika dinyatakan dalam sekelompok tanda atau simbol yang terdiri atas kombinasi variabel, konstanta, koefisien dan atau parameter

Variabel ® sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu masalah tertentu

Konstanta ® suatu bilangan nyata tunggal yang nilainya tidak berubah dalam suatu masalah tertentu

Koefisien ® angka pengali konstan terhadap variabel

Parameter ® suatu nilai tertentu dalam suatu masalah tertentu dan mungkin akan menjadi nilai yang lain pada suatu masalah yang lain

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Persamaan ® suatu pernyataan bahwa dua lambang adalah sama

Contoh : TC = 150 + Q

Pertidaksamaan ® suatu pernyataan yang menyatakan bahwa dua lambang adalah tidak sama

Contoh : R > C

SISTEM BILANGAN NYATA

Himpunan Bilangan Nyata terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional

Bilangan rasional ® dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, contoh : 2/3

Bilangan irrasional ® tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan dua bilangan bulat, contoh : √3

SKEMA BILANGAN NYATA

KONSEP HIMPUNAN

Himpunan → suatu kumpulan dari sejumlah obyek (elemen)

Cara menulis himpunan :

- Dengan mendaftar

Contoh : S = {1, 2, 3, 4}

- Dengan mendesripsikan

Contoh : B = { x | x bilangan bulat positif }

Anggota dalam suatu himpunan dinyatakan dengan simbol ε

Contoh : 1 ε S

HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN

Dua himpunan adalah sama jika setiap elemen dari dua himpunan sama

Contoh : A = {3,5,6,4}, B = { 6,5,4,3}, maka A = B

Himpunan ( B adalah himpunan bagian A jika dan hanya jika setiap elemen B juga merupakan elemen A

Contoh : A = {1,2,3,4,5} dan B = {3,4,5}, maka B A

HIMPUNAN KHUSUS

Himpunan Semesta (universal) ® himpunan yang berisikan semua elemen yang sesuai untuk masalah tertentu.

Komplemen ® suatu himpunan dari seluruh elemen dalam himpunan semesta yang bukan elemen dari suatu himpunan tertentu yang sudah didefinisikan

Himpunan null (kosong) ® himpunan yang tidak mempunyai anggota

OPERASI HIMPUNAN : GABUNGAN (UNION), IRISAN (INTERSECTION), KOMPLEMEN (COMPLEMENT)

KAIDAH PEMANGKATAN

• Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukkan banyaknya perkalian bilangan yang sama secara beruntun.

Notasi : Xa berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali.

Kaidah Pemangkatan Bilangan :

1. X0 = 1 (X ¹ 0) contoh : 30 = 1

2. X1 = X contoh : 31 = 1

3. 0x = 0 contoh : 02 = 0

4. X-a = 1/ Xa contoh : 3-2= 1/32

5. Xa/b = bÖ Xa contoh : 41/3= 3Ö 41

6. (X/Y)a = Xa / Ya contoh : (3/5)2 = 32/52

7. (Xa)b = Xab contoh : (22)2= 24

8. Xa = X c, maka c = a

9. Xa . Xb = Xa+b contoh : 34.32 = 34+2

10. Xa . Ya = (XY)a contoh : (3.4)2 = 32.42

11. Xa : Xb = X a – b contoh : 45/44 = 45-1

12. Xa : Ya = (X/Y) a contoh : 34/44 = (3/4)4

KAIDAH PEMFAKTORAN

Faktor adalah satu diantara pengali-pengali yang terpisah dalam suatu hasil kali

Contoh : ab + bc dapat difaktorkan menjadi a(b + c)

: y = 8×2 + 26x + 15 dapat difaktorkan menjadi

y = (4x +3) (2x + 5)

LATIHAN SOAL

1. Jika U = {1,2,3,4,5,67,9} mempunyai himpunan bagian A = {1,3,5,7,9}, B = {2,4,5,6,8}, dan C = {3,6,7,9}

Tentukan elemen dari himpunan berikut :

a) A’ c) B Ç C

b) B È C d) (A È B È C)’

2. Bentuk sederhana pernyataan berikut adalah :

a) (82)2/3 c) (5)0(9)1/2

b) 6(25)3/2 d) (9)3/2(3)-2

3. Carilah faktor untuk dari pernyataan berikut :

a) X3 – 27 c) X3 = 8

b) X3 + 8000 d) X3 = 16X4 – 49