Pert 2 Matematika Ekonomi

FUNGSI Fungsi adalah suatu hubungan dimana setiap elemen dari daerah asal (domain/pra peta) saling berhubungan dengan satu dan hanya satu elemen dari daerah hasil (codomain/peta) fungsi

fungsi

Fungsi

Relasi

Fungsi mengharuskan adanya satu nilai Y yang unik untuk setiap nilai X, tetapi hal yang sebaliknya tidak diharuskan.

Dengan katalain, lebih dari satu nilai X dapat dihubungkan dengan nilai yang sama, tetapi sebaliknya beberapa nilai Y tidak dapat dihubungkan dengan nilai X yang

sama

Elemen yang dihubungkan oleh suatu fungsi

dibedakan menjadi variabel bebas dan terikat

Pada pernyataan fungsi : y = f(x)

Y → variabel terikat

X → variabel bebas

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS

Garis lurus horisontal mewakili nilai-nilai domain dan disebut sumbu absis

Garis lurus vertikal mewakili nilai-nilai codomain dan disebut sumbu ordinat

FUNGSI DENGAN SATU VARIABEL BEBAS

Fungsi dengan satu variabel bebas berarti hanya ada satu jenis variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat

Fungsi polinomà fungsi aljabar

Fungsi eksponen dan fungsi logaritma à fungsi non aljabar

Contoh : fungsi polinom  y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Y menyatakan variabel terikat

X menyatakan variabel bebas

A₀,a₁,a₂,…,a_n menyatakan konstanta

an = 0  dan non negatif

Fungsi polinom in dapat terdiri;

Ø    Fungsi konstanta

Ø    Fungsi linier

Ø    Fungsi kuadrat

Ø    Fungsi pangkat tiga(kubik)

Ø    Dst pada fungsi pangkat n(n=1,2,3)

FUNGSI DENGAN DUA ATAU LEBIH VARIABEL BEBAS

Fungsi dengan dua atau lebih variabel bebas adalah fungsi yang terdapat dua atau lebih jenis variabel bebas yang mempengaruhi variabel terikat (fungsi multivariat)

Contoh : y = f(X1,X2,… ,Xn)

Y menyatakan variabel terikat

Xi menyatakan variabel bebas (i = 1,2,…,n)

n bernilai dua atau lebih

Fungsi polinomial dengan dua atau lebih variabel bebas dapat berbentuk linier ataupun non linier terhadap masing-masing variabel bebas.

Misalnya suatu fungsi yang mempunyai bentuk:  y = a1x1 + a2x2 + … + anxn

Adalah fungsi linier , karena setiap variabel pada masing-masing suku mempunyai pangkat satu. Sedangkan untuk fungsi non linier, misalnya fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat satu dan pangkat dua dari satu atau lebih variabel bebas, tetapi jumlah pangkat atau eksponen dari variabel bebas yang ada dalam setiap suku tunggal tidak lebih dari dua.

Aturan-aturan yang digunakan untuk menentukan tingkatan(degree) dari suatu fungsi polinomial dengan dua atau lebih variabel bebas adalah sebagai berikut:

1. Tingkat dari suatu suku adalah sama dengan jumlah dari pangkat atau eksponen pada variabel-variabel dalam suku itu.

2. Tingkat dari suatu polinomial adalah sama dengan tingkat suku itu dari tingkat paling tinggi dalam polinomial.

Contoh:

a.     Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3

a: adalah konstanta

xi: adalah variabel bebas yang terpisah

karena masing-masing suku mempunyai pangkat satu, fungsi adalah linier dalam tiga variabel bebas x1, x2 dan x3

b.      Y = a0 + a1x1 + a2x2² + a3x3+a4x4³

Terdapat berbagai pangkat(degree) untuk setiap suku

Pangkat dari a1x1 dan a3x3 adalah 1

Pangkat dari a2x2² adalah 2

Pangkat dari a4x4³ adalah 3

Oleh karena itu, menurut aturan kedua diatas, pangkat/tingkat polinomial adalah 3

BENTUK UMUM FUNGSI LINIER

Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel itu

Bentuk umum

y = a0 + a1x dengan a tidak sama dengan nol

a                                    b.                                 c.                                   d.

Kemiringan                 Kemiringan               Kemiringan               Kemiringan

Positif                           Negatif                       nol                              tak tentu

a.  Garisnya mempunyai kemiringan positif, karena menaik dari kiri bawah ke kanan atas,sehingga jika x menaik maka y menaik juga

b.   Garis mempunyai kemiringan negarif, karena menurun dari kiri atas ke kanan bawah, sehingga jika x menaik maka y akan menurun

c.  Kemiringan garisnya nol,karena x bertambah, y tetap konstan

d.    Kemiringan garis tak tentu, karena x konstan, Y tak tentu

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

Ø             Metode dua titik

suatu garis lurus dapat digambarkan dengan cara

menghubungkan dua titik pada bidang Cartesius XY

Persamaan garis dapat dicari dengan

Y – Y₁ =   Y₂ – Y₁

X – X₁ X₂ – X₁

Contoh carilah persamaan garis yang melalui titik(3,2) dan(4,6)

Penyelesaian:

X₁ = 3 , X₂ = 4, Y₁ = 2, dan Y₂ = 6

Y – Y₁ =   Y₂ – Y₁

X – X₁ X₂ – X₁

Y – 2 =     6 – 2

X – 3          4 – 3

Y – 2 =     6 – 2 (X – 3)

4 – 3

Y – 2   =     4(X – 3)

Y        =      4X – 12 + 2

Y        =      4X – 10

Persamaan garis Y=4X – 10 ini grafiknya

Y = 4X – 10

X=0  à      Y= 4.0 – 10 = – 10

Y=0  à      0 = 4X – 10

10 = 4X

X = 2,5

Ø    Metode satu titik dan satu kemiringan

Selain metode dua titik untuk menentukan garis lurus, ada metode lain, yaitu: metode satu titik dan satu kemiringan

Rumus dibawah ini untuk menentukan persamaan garis lurus bila diketahui satu titik dan satu kemiringan.

Persamaan garis dapat dicari dengan Y – Y₁ = m (X – X₁)

dengan m menyatakan kemiringan garis

Contoh carilah persamaan garis yang melalui titik(6,4) dan kemiringannya -2/3

Penyelesaian:

Diketahui(X,Y) = (6,4) dan m = – 2/3

Y – Y₁ =  m (X – X₁)

Y –  4    =  -2/3 (X – 6)

Y     =  -2/3 X + 4 + 4

Y     =  -2/3 X + 8

Persamaan garis Y =-2/3x +8 ini grafiknya

Y =  -2/3 X + 8

X=0  à      Y= -2/3.0 + 8 = 8

Y=0  à      0 =  -2/3 X + 8

8 = 2/3 X

X = 12

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Apabila dua garis yang empunyai kemiringan yang berbeda atau sama dan juga titik potong dengan sumbu Y berbeda atau sama, maka bila digambarkan dalam koordinat kartesius XY akan terdapat empat kemungkinan :

a1 # b1                a1 = b1                      a1 = b1                       a1 . b1 = -1

a0 # b0                a0 # b0                      a0 = b0                       a0 # b0

berpotongan                sejajar                              berimpit                           tegak lurus

Contoh:

X+ 2Y- 3=0

3X -6Y + 18 =0

X + 2Y – 3 = 0

X=0  –> 2Y = 3

Y = 3/2

Y = 1.5

Y=0  –>  X = 3

3X – 6Y + 18 = 0

X=0  –>-6Y + 18=0

18 = 6Y

Y = 3

Y=0 –> 3X + 18 = 0

3X = -18

X = -18/3

X = -6

Garis berpotongan

SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem persamaan linier → himpunan yang terdiri dari persamaan – persamaan linier

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

1.     Metode eliminasi

Dilakukan dengan menghapus sementara salah satu variabel

Langkah-langkah penyelesaian:

a.  Pilih satu variabel yang akan dieliminasi

b.  Kalikan kedua persamaan dengan suatu nilai konstanta tertentu bila diperlukan sehingga koefisien pada variabel yang dipilih menjadi sama

c.  Jika tanda pada kedua koefisien dari variabel yang dipilih sama, maka kedua persamaan dikurangkan, sedangkan jika berlainan kedua persamaan dijumlahkan

d.  Carilah nilai dari variabel yang tersisa dan substitusikan ke dalam persamaan mula-mula untuk menentukan nilai dari variabel yang telah dipilih

2.     Metode Substitusi

Dilakukan dengan mensubstitusikan satu variabel ke dalam varabel yang lain

Langkah-langkah penyelesaian:

a. Pilih satu variabel yang ada dalam persamaan, kemudian upayakan koefisien dari variabel tersebut menjadi 1

b. Bila persamaan pertama yang dipilih, maka substitusikan persamaan ke dalam persamaan kedua

c.  Carilah nilai variabel yang tidak terpilih dengan aturan-aturan matematika

d. Substitusikan kembali nilai dari variabel yang diperoleh ke dalam persamaan mula-mula untuk memperoleh nilai variabel yang dipilih

Latihan Soal :

Selesaikan himpunan-himpunan persamaan linear berikut

1.     -3×1 + 2×2 = 1

8×1 – 4×2 = 8

2.     x1 + 4×2 – 2×3 = 3

3×1 + 2×2 + x3 = 10

2×1 + 3×2 + 2×3 = 14

3.     x + y + 2z = 4

3x + 5y + z = 0

5x + 4y + 3z = 7